Psychométrique en français, session d'été 2025 — le corrigé

L'épreuve

1. Rédaction35 min · p. 2
2. Verbal 120 questions · 20 min
3. Verbal 220 questions · 20 min
4. Quantitatif 1corrigé ci-dessous
5. Quantitatif 220 questions · 20 min

Réflexion quantitative, première section : la correction

1. Question 1page 21 du livretRéponse (2)
   $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

   La droite raide coupe a avec un angle de $130^\circ$ : son voisin vaut $50^\circ$. Comme b est parallèle à a, elle fait aussi $50^\circ$ avec b (angles correspondants).

   $180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

   L'autre droite fait $10^\circ$ avec b : le supplément de $170^\circ$.

   $x = 180^\circ - 50^\circ - 10^\circ = 120^\circ$

   Le triangle formé par b et les deux droites a des angles de $10^\circ$ et $50^\circ$ sur b ; x est son troisième angle.

   1. (1)Mauvaise réponseAvec $110^\circ$, les trois angles du triangle ne feraient que $170^\circ$.
   2. (2)Bonne réponse$180^\circ - 50^\circ - 10^\circ$.
   3. (3)Mauvaise réponse$130^\circ$ est l'angle donné sur a, pas un angle du triangle.
   4. (4)Mauvaise réponseAvec $140^\circ$, les trois angles feraient $200^\circ$.

   (2) $120^\circ$. Ramener les angles sur une même droite, puis fermer le triangle.

2. Question 2page 21 du livretRéponse (3)
   $3 - 5 + 12 - a = 16$

   Une valeur absolue ôte le signe : $|-5| = 5$, $|-12| = 12$.

   $10 - a = 16 \Rightarrow a = -6$

   On isole $a$.

   1. (1)Mauvaise réponse$10 - (-20) = 30$, pas $16$.
   2. (2)Mauvaise réponse$10 - 12 = -2$.
   3. (3)Bonne réponse$10 - (-6) = 16$.
   4. (4)Mauvaise réponse$10 - 4 = 6$.

   (3) $-6$. Ôter les signes, puis résoudre.

3. Question 3page 21 du livretRéponse (3)
   $\frac{x}{\frac{1}{x^2}} = x \cdot x^2 = x^3$

   Le nombre de caractères est le volume total divisé par le volume d'un caractère ; diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

   1. (1)Mauvaise réponseOn a multiplié par le volume d'un caractère au lieu de diviser : $x \cdot \frac{1}{x^2}$.
   2. (2)Mauvaise réponseOn a oublié le volume d'un caractère : ce serait juste s'il valait $1$ cm³.
   3. (3)Bonne réponse$x \cdot x^2$.
   4. (4)Mauvaise réponseLe rapport pris à l'envers : $\frac{1}{x^2} \div x$.

   (3) $x^3$. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

4. Question 4page 21 du livretRéponse (4)
   $P(\text{Dan}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

   Une face de la pièce sur deux, et deux faces du dé sur six.

   $P(\text{Marc}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

   Le même calcul.

   $1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

   Les deux victoires s'excluent : on les retire du tout.

   1. (1)Mauvaise réponseOn n'a retiré qu'une chance sur douze.
   2. (2)Mauvaise réponseOn n'a retiré qu'une des deux victoires.
   3. (3)Mauvaise réponseOn a retiré $\frac{1}{4}$ : comme si chaque victoire valait $\frac{1}{8}$.
   4. (4)Bonne réponse$1 - \frac{2}{6}$.

   (4) $\frac{2}{3}$. Calculer les cas gagnants, puis le complément.

5. Question 5page 22 du livretRéponse (4)
   $7 \cdot 30 = 210$

   La somme des sept nombres : une moyenne fois l'effectif.

   $\frac{210 + 110}{8} = \frac{320}{8} = 40$

   On ajoute le huitième nombre, puis on divise par huit.

   1. (1)Mauvaise réponse$55 \cdot 8 = 440$, pas $320$.
   2. (2)Mauvaise réponse$50 \cdot 8 = 400$, pas $320$.
   3. (3)Mauvaise réponse$35 \cdot 8 = 280$, pas $320$.
   4. (4)Bonne réponse$40 \cdot 8 = 320$.

   (4) $40$. Une moyenne se reconstruit par la somme.

6. Question 6page 22 du livretRéponse (3)
   $a + b > c$

   Trois longueurs forment un triangle seulement si les deux plus petites ont une somme plus grande que la troisième.

   1. (1)Mauvaise réponse$1 + 5 = 6 > 5{,}5$ : possible.
   2. (2)Mauvaise réponse$3 + 4 = 7 > 6$ : possible.
   3. (3)Bonne réponse$5 + 6 = 11 < 11{,}5$ : impossible.
   4. (4)Mauvaise réponse$4 + 12 = 16 > 13$ : possible.

   (3). On compare la somme des deux plus petits côtés au plus grand.

7. Question 7page 22 du livretRéponse (3)
   $60 - 10 = 50 \text{ min}$

   La montre est restée arrêtée cinquante minutes : elle retarde d'autant.

   $8\text{h}30 + 50 \text{ min} = 9\text{h}20$

   L'heure exacte est en avance sur la montre.

   1. (1)Mauvaise réponseOn a retranché une heure dix au lieu d'ajouter.
   2. (2)Mauvaise réponseOn a retranché cinquante minutes : la montre retarde, il faut ajouter.
   3. (3)Bonne réponse8h30 plus cinquante minutes.
   4. (4)Mauvaise réponseOn a ajouté soixante-dix minutes : l'arrêt a duré une heure moins dix minutes.

   (3) 9h20. Une montre arrêtée retarde du temps de son arrêt.

8. Question 8page 22 du livretRéponse (2)
   $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{x + 2}{4}$

   Ce nombre est entier : $x + 2$ est un multiple de $4$.

   $x = 4k - 2 = 4(k - 1) + 2$

   Exemples : $2$, $6$, $10$.

   1. (1)Mauvaise réponseAvec $x = 5$, on obtient $\frac{7}{4}$ : pas entier.
   2. (2)Bonne réponseAvec $x = 6$, on obtient $\frac{6}{4} + \frac{1}{2} = 2$.
   3. (3)Mauvaise réponseAvec $x = 3$, on obtient $\frac{5}{4}$ : pas entier.
   4. (4)Mauvaise réponseAvec $x = 4$, on obtient $\frac{3}{2}$ : pas entier.

   (2). Mettre au même dénominateur, puis essayer une valeur.

9. Question 9page 24 du livretRéponse (3)
   $\text{B} : 25\text{-}40,\ 25\text{-}40,\ 15\text{-}25,\ 15\text{-}25,\ 0\text{-}5 \ (\%)$

   Les cinq anneaux du quart de B (graphique de la page 23), du centre vers l'extérieur, lus sur la légende.

   1. (1)Mauvaise réponseDe $0$ à $10$ m : entre $25\%$ et $40\%$ des graines.
   2. (2)Mauvaise réponseDe $20$ à $30$ m : entre $15\%$ et $25\%$.
   3. (3)Bonne réponseDe $40$ à $50$ m : au plus $5\%$, moins que n'importe quel autre anneau, qui en a au moins $15\%$.
   4. (4)Mauvaise réponseLes intervalles de la légende ne se chevauchent pas ici : le plus petit est sûr.

   (3). Un anneau qui ne dépasse pas $5\%$ est sous tous ceux qui en ont au moins $15\%$.

10. Question 10page 24 du livretRéponse (2)
    $\text{C} : 0\text{-}5,\ 25\text{-}40,\ 40\text{+},\ 25\text{-}40,\ 5\text{-}15 \ (\%)$

    Le quart de C, du centre vers l'extérieur.

    $\text{bas},\ \text{haut},\ \text{sommet},\ \text{haut},\ \text{bas}$

    Le diagramme doit monter jusqu'au troisième intervalle, redescendre, et finir un peu au-dessus du premier.

    1. (1)Mauvaise réponseIl décroît dès le premier intervalle, qui serait le plus haut : chez C, il est le plus bas.
    2. (2)Bonne réponseTrès bas, haut, plus haut, haut, bas : le profil de C.
    3. (3)Mauvaise réponseIl est haut aux deux bouts : chez C, les extrémités sont basses.
    4. (4)Mauvaise réponseIl croît jusqu'au bout : chez C, le dernier intervalle est bas.

    (2). Lire le profil : bas, sommet au milieu, puis descente.

11. Question 11page 24 du livretRéponse (3)
    $0 + 5 + 15 + 25 = 45$

    Pour donner le plus possible à l'anneau extérieur de A, on donne aux quatre autres le minimum de leur classe : jusqu'à $5\%$, $5$ à $15\%$, $15$ à $25\%$, $25$ à $40\%$.

    $100 - 45 = 55$

    Le reste va à l'anneau de $40$ à $50$ m, qui doit en avoir au moins $40\%$ : $55\%$ convient.

    1. (1)Mauvaise réponseIl faudrait que les quatre autres anneaux n'en reçoivent que $5\%$ en tout.
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait $30\%$ pour les quatre autres anneaux, moins que leur minimum de $45\%$.
    3. (3)Bonne réponse$100 - 45$.
    4. (4)Mauvaise réponseC'est le minimum de l'anneau extérieur, pas son maximum.

    (3) $55\%$. Pour un maximum, on donne le minimum à tout le reste.

12. Question 12page 24 du livretRéponse (2)
    $\frac{100\%}{5} = 20\%$

    Cinq intervalles, autant de graines dans chacun : $20\%$ chaque fois.

    $15\% < 20\% < 25\%$

    $20\%$ tombe dans la classe de $15$ à $25\%$ : la même trame dans tous les anneaux.

    1. (1)Mauvaise réponsePointillé : $5$ à $15\%$ par anneau, soit au plus $75\%$ en tout.
    2. (2)Bonne réponse$20\%$ dans chaque anneau, dans la classe de $15$ à $25\%$.
    3. (3)Mauvaise réponseQuadrillé : au moins $25\%$ par anneau, soit au moins $125\%$.
    4. (4)Mauvaise réponseSeule la classe qui contient $20\%$ convient.

    (2). Un partage égal en cinq donne $20\%$ par intervalle.

13. Question 13page 25 du livretRéponse (1)
    $LT - M - MT + L$

    On ouvre la seconde parenthèse : le signe moins change chaque signe.

    $= L(T + 1) - M(T + 1) = (L - M)(T + 1)$

    On regroupe par $L$ et par $M$ : $T + 1$ est commun.

    1. (1)Bonne réponse$(L - M)(T + 1)$.
    2. (2)Mauvaise réponse$(M - L)(T - 1) = MT - M - LT + L$ : les termes en $T$ ont le mauvais signe.
    3. (3)Mauvaise réponse$(L - T)(M + 1)$ fait apparaître un terme $LM$, absent de l'expression.
    4. (4)Mauvaise réponse$(T - L)(M - 1)$ fait aussi apparaître un terme $LM$.

    (1). Développer, puis factoriser par le terme commun.

14. Question 14page 25 du livretRéponse (4)
    $8,\ 64,\ 512,\ 4096,\ \dots$

    Le chiffre des unités des puissances de $8$ suit le cycle $8, 4, 2, 6$.

    $6 = 4 + 2 \Rightarrow 4$

    La sixième puissance est au deuxième rang du cycle.

    1. (1)Mauvaise réponse$6$ est le chiffre des unités de $8^4$.
    2. (2)Mauvaise réponse$2$ est celui de $8^3$.
    3. (3)Mauvaise réponse$8$ est celui de $8^1$ et de $8^5$.
    4. (4)Bonne réponse$4$ est celui de $8^2$ et de $8^6$.

    (4) $4$. Chercher le cycle des unités.

15. Question 15page 25 du livretRéponse (2)
    $B = (0, 0),\ A = (0, 2),\ C = (2, 0)$

    On place le carré dans un repère.

    $O = (2 + 1,\ 1) = (3, 1)$

    Le rayon vaut $1$. Tangent au côté DC, le centre est à $1$ à droite de DC ; tangent à la droite BC prolongée, il est à $1$ au-dessus.

    $AO = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

    Pythagore.

    1. (1)Mauvaise réponse$\sqrt{5}$ serait la distance de A au milieu du côté DC : on a oublié le rayon.
    2. (2)Bonne réponse$\sqrt{3^2 + 1^2}$.
    3. (3)Mauvaise réponse$3$ n'est que l'écart horizontal.
    4. (4)Mauvaise réponse$4 = 3 + 1$ : on a additionné les écarts au lieu d'appliquer Pythagore.

    (2) $\sqrt{10}$. Placer le centre, puis Pythagore.

16. Question 16page 25 du livretRéponse (2)
    $w + (w - 2) = 30 \Rightarrow w = 16$

    La distance de chaque heure est sa vitesse.

    $10 + x = 16 \Rightarrow x = 6$

    La règle des mois donne $x$.

    1. (1)Mauvaise réponseAvec $w = 15$, elle fait $15 + 13 = 28$ km.
    2. (2)Bonne réponse$16 + 14 = 30$ km.
    3. (3)Mauvaise réponseAvec $w = 13$, elle fait $13 + 11 = 24$ km.
    4. (4)Mauvaise réponseAvec $w = 14$, elle fait $14 + 12 = 26$ km.

    (2) $6$ mois. D'abord la vitesse, puis le nombre de mois.

17. Question 17page 26 du livretRéponse (1)
    $BD = 2\,CD, \quad BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = CD\sqrt{3}$

    Dans le triangle BCD, rectangle en C, l'angle en D vaut $60^\circ$, donc celui en B vaut $30^\circ$ : CD, en face, vaut la moitié de BD.

    $2(CD + CD\sqrt{3}) = 20 \Rightarrow CD = \frac{10}{1 + \sqrt{3}}$

    Le périmètre.

    1. (1)Bonne réponseLe périmètre vaut alors $2 \cdot 10 = 20$.
    2. (2)Mauvaise réponseLe périmètre vaudrait $2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}9$.
    3. (3)Mauvaise réponseLe périmètre vaudrait $2 \cdot 2\sqrt{3} \approx 6{,}9$.
    4. (4)Mauvaise réponseLe périmètre vaudrait $2 \cdot 4 = 8$.

    (1) $\frac{10}{1 + \sqrt{3}}$. Un angle de $60^\circ$ dans un triangle rectangle fixe le rapport des côtés.

18. Question 18page 26 du livretRéponse (4)
    $16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$

    Chaque recyclage fait une bougie de deux : $16$ bougies, puis $8$, $4$, $2$ et $1$. Il reste alors la cire d'une seule bougie, qui ne suffit pas.

    1. (1)Mauvaise réponse$16 + 4 + 1$ : comme s'il fallait quatre bougies fondues pour en faire une.
    2. (2)Mauvaise réponse$16 + 8$ : un seul tour de recyclage.
    3. (3)Mauvaise réponseOn a oublié la dernière bougie, faite des deux précédentes.
    4. (4)Bonne réponse$16 + 8 + 4 + 2 + 1$.

    (4) $31$ heures. Suivre la cire tour par tour.

19. Question 19page 26 du livretRéponse (1)
    $S_{ABC} = \frac{BC \cdot h_A}{2}, \quad S_{DBC} = \frac{BC \cdot h_D}{2}$

    Les deux triangles ont la même base BC.

    $h_A = h_D \Rightarrow AD \parallel BC$

    Aires égales, base commune : A et D sont à la même distance de la droite BC, du même côté.

    1. (1)Bonne réponseBase commune, hauteurs égales : AD est parallèle à BC.
    2. (2)Mauvaise réponseRien ne force ce parallélisme : un trapèze de bases AD et BC convient sans lui.
    3. (3)Mauvaise réponseMême contre-exemple : un trapèze dont AD est plus court que BC.
    4. (4)Mauvaise réponseUn trapèze non isocèle a deux côtés obliques de longueurs différentes.

    (1). Base commune, aires égales : hauteurs égales.

20. Question 20page 26 du livretRéponse (1)
    $\min \frac{a}{b} = \frac{1/5}{3} = \frac{1}{15}$

    Un quotient diminue quand le numérateur diminue et que le dénominateur augmente.

    $\max \frac{a}{b} = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$

    Et il augmente dans le cas inverse. Les bornes ne sont pas atteintes : les inégalités sont strictes.

    1. (1)Bonne réponseLe plus petit numérateur sur le plus grand dénominateur, puis l'inverse.
    2. (2)Mauvaise réponse$\frac{1}{12}$ prend $a = \frac{1}{4}$ avec $b = 3$ : ce n'est pas le minimum.
    3. (3)Mauvaise réponseNi $\frac{1}{12}$ ni $\frac{1}{10}$ ne réunissent les deux extrêmes.
    4. (4)Mauvaise réponse$\frac{1}{10}$ prend $a = \frac{1}{5}$ avec $b = 2$ : ce n'est pas le maximum.

    (1). Le minimum met le plus petit numérateur sur le plus grand dénominateur.

Les trois autres sections

• Réflexion verbale 1analogies (1-5, la 5 non comptée), compréhension et déduction (6-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion verbale 2analogies (1-4), compréhension et déduction (5-15), texte (16-20)
  dans la plateforme
• Réflexion quantitative 2questions et problèmes (1-16), lecture d'un graphique (17-20)
  dans la plateforme