Psychométrique en français, session d'été 2024 — le corrigé

L'épreuve

1. Rédaction35 min · p. 2
2. Verbal 120 questions · 20 min
3. Verbal 220 questions · 20 min
4. Quantitatif 1corrigé ci-dessous
5. Quantitatif 220 questions · 20 min

Réflexion quantitative, première section : la correction

1. Question 1page 21 du livretRéponse (3)
   $A + 2 = 10 \Rightarrow A = 8$

   Les unités : $A + 2$ se termine par $0$, donc $A + 2 = 10$, avec une retenue de $1$.

   $B + 1 = A = 8 \Rightarrow B = 7$

   Les dizaines : $B$ plus la retenue donne le chiffre des dizaines du résultat, $A$.

   1. (1)Mauvaise réponse$58 + 2 = 60$ : le résultat commencerait par $6$, pas par $8$.
   2. (2)Mauvaise réponse$68 + 2 = 70$ : même défaut.
   3. (3)Bonne réponse$78 + 2 = 80$ : le résultat s'écrit bien $A$ puis $0$.
   4. (4)Mauvaise réponse$98 + 2 = 100$ : trois chiffres.

   (3) $B = 7$ : $78 + 2 = 80$.

2. Question 2page 21 du livretRéponse (4)
   $\frac{21}{15} = \frac{63}{v} \Rightarrow v = 45$

   Le même rapport dans les deux galeries : trois fois plus de tableaux, donc trois fois plus de visiteurs par jour.

   $3 \cdot 45 = 135$

   Sur trois jours.

   1. (1)Mauvaise réponse$99 = 3 \cdot 33$ : $33$ visiteurs par jour ne respectent pas le rapport.
   2. (2)Mauvaise réponse$105 = 3 \cdot 35$ : $35$ visiteurs par jour non plus.
   3. (3)Mauvaise réponse$121$ n'est même pas un multiple de $3$.
   4. (4)Bonne réponse$45$ visiteurs par jour, pendant trois jours.

   (4) $135$. Trois fois plus de tableaux, trois fois plus de visiteurs, sur trois jours.

3. Question 3page 21 du livretRéponse (1)
   $\angle C = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ = \angle B$

   $AD \parallel BC$ : les angles en $D$ et en $C$ sont supplémentaires, et le trapèze isocèle a deux angles égaux à la grande base.

   $180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$

   Soit $P$ le point où le segment issu de $A$ coupe $BC$. Dans le triangle $ABP$, il y a $50^\circ$ en $A$ et $50^\circ$ en $B$ : l'angle en $P$ vaut $80^\circ$.

   $\alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

   $\alpha$ est l'angle voisin, de l'autre côté du segment, sur la même droite $BC$.

   1. (1)Bonne réponseL'angle supplémentaire de l'angle intérieur du triangle.
   2. (2)Mauvaise réponseAucun angle de la figure ne mène à $110^\circ$.
   3. (3)Mauvaise réponseC'est l'angle en $D$, recopié.
   4. (4)Mauvaise réponseC'est l'angle intérieur du triangle $ABP$, pas $\alpha$.

   (1) $100^\circ$. L'angle cherché est à l'extérieur du petit triangle.

4. Question 4page 21 du livretRéponse (1)
   $6! = 720$

   $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$.

   $\frac{60^2}{6!} = \frac{3600}{720} = 5$

   $60^2 = 3600$, soit cinq fois $720$.

   1. (1)Bonne réponse$3600 = 5 \cdot 720$.
   2. (2)Mauvaise réponseOn a pris $6!$ pour $600$.
   3. (3)Mauvaise réponseOn a oublié le carré : $60 / 6 = 10$.
   4. (4)Mauvaise réponseBien trop grand : $24 \cdot 720$ dépasse de loin $3600$.

   (1) $5$.

5. Question 5page 22 du livretRéponse (1)
   $3 \times 2 = 6$

   Le poste du développement : $3$ candidats possibles ; celui du contrôle : $2$ parmi les deux restants. Le dernier n'est pas embauché.

   1. (1)Bonne réponse$3$ choix pour le premier poste, puis $2$ pour le second.
   2. (2)Mauvaise réponse$9 = 3 \cdot 3$ : on a laissé le même candidat occuper les deux postes.
   3. (3)Mauvaise réponseOn n'a compté que le choix du candidat écarté, sans dire qui va où.
   4. (4)Mauvaise réponseLe premier poste offre déjà $3$ choix, et chacun en ouvre $2$ : $4$ est trop peu.

   (1) $6$. L'ordre compte : les deux équipes sont différentes.

6. Question 6page 22 du livretRéponse (3)
   $66 = 22 \cdot 3, \quad 88 = 22 \cdot 4$

   Les deux côtés de l'angle droit sont proportionnels à $3$ et $4$ : le triangle $3$-$4$-$5$, agrandi $22$ fois.

   $c = 22 \cdot 5 = 110$

   Vérification : $66^2 + 88^2 = 4356 + 7744 = 12\,100 = 110^2$.

   1. (1)Mauvaise réponse$100^2 = 10\,000$, loin de $12\,100$.
   2. (2)Mauvaise réponse$101^2 = 10\,201$.
   3. (3)Bonne réponse$110^2 = 12\,100$.
   4. (4)Mauvaise réponse$111^2 = 12\,321$.

   (3) $110$. Penser au triangle $3$-$4$-$5$.

7. Question 7page 22 du livretRéponse (4)
   $C + I = S + G + 8$

   Deux moyennes de deux notes qui diffèrent de $4$ points : les sommes diffèrent de $8$ points.

   $C = S + 4 \Rightarrow I = G + 4$

   Chantal fournit $4$ des $8$ points d'écart ; Irène fournit les $4$ autres.

   1. (1)Mauvaise réponseIrène à $6$ points sous Gilles : la somme ne dépasserait plus que de $-2$.
   2. (2)Mauvaise réponseUn écart de $6$ points entre les sommes, pas de $8$.
   3. (3)Mauvaise réponseOn a oublié de doubler l'écart des moyennes.
   4. (4)Bonne réponseLes $4$ points qui manquent pour atteindre $8$.

   (4) supérieure de $4$ points. Un écart de moyennes de deux notes est un écart de sommes divisé par $2$.

8. Question 8page 22 du livretRéponse (1)
   $\text{largeur} = 2x$

   Un hexagone régulier se découpe en six triangles équilatéraux de côté $x$ : d'un sommet au sommet opposé, $2x$.

   $\text{hauteur} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x = \sqrt{3}\,x$

   Entre les deux côtés horizontaux : deux hauteurs de triangle équilatéral.

   $S = 2x \cdot \sqrt{3}\,x = 2\sqrt{3}\,x^2$

   L'aire du rectangle : la largeur fois la hauteur.

   1. (1)Bonne réponseLa largeur $2x$ fois la hauteur $\sqrt{3}\,x$.
   2. (2)Mauvaise réponseAucune racine de $2$ dans un hexagone régulier : ses hauteurs portent $\sqrt{3}$.
   3. (3)Mauvaise réponseIl faudrait une hauteur de $1{,}5x$ ; elle vaut $\sqrt{3}\,x \approx 1{,}73x$.
   4. (4)Mauvaise réponseUn carré de côté $1{,}5x$ : ni la largeur, ni la hauteur.

   (1) $2\sqrt{3}\,x^2$. La hauteur d'un hexagone régulier vaut $\sqrt{3}$ fois son côté.

9. Question 9page 23 du livretRéponse (2)
   $10\,000 \cdot \frac{1 + 1{,}1 + 1{,}1 + 1{,}2}{4} = 11\,000$

   En 2011, chaque salaire vaut $10\,000$ euros multipliés par sa barre de 2011 : $100\,\%$, $110\,\%$, $110\,\%$ et $120\,\%$.

   1. (1)Mauvaise réponseIl faudrait une hausse moyenne de $5\,\%$ ; elle est de $10\,\%$.
   2. (2)Bonne réponseUne hausse moyenne de $10\,\%$ sur $10\,000$ euros.
   3. (3)Mauvaise réponseIl faudrait une hausse moyenne de $15\,\%$.
   4. (4)Mauvaise réponseLa barre la plus haute, prise seule : il faut la moyenne des quatre.

   (2) $11\,000$ euros. Tous partaient du même salaire : on fait la moyenne des pourcentages.

10. Question 10page 23 du livretRéponse (3)

    Méthode

    Un salaire change une année quand sa barre n'est pas à $100\,\%$. On compte, pour chaque employée, les barres qui s'en écartent.

    $\text{Alice} : 110\,\%\ (2012),\ 75\,\%\ (2014)$

    Deux changements : une hausse, puis une baisse.

    $\text{Diane} : 120\,\%\ (2011),\ 85\,\%\ (2014)$

    Deux changements aussi, dans le même ordre. Betty et Carole changent chaque année, quatre fois.

    1. (1)Mauvaise réponseLa seconde barre de chacune est sous $100\,\%$.
    2. (2)Mauvaise réponseLa première barre de chacune est au-dessus de $100\,\%$.
    3. (3)Bonne réponseAu-dessus, puis au-dessous de $100\,\%$, pour les deux.
    4. (4)Mauvaise réponseL'ordre est inversé.

    (3) augmenté ; baissé. Une barre à $100\,\%$ veut dire : aucun changement.

11. Question 11page 24 du livretRetirée de la note par le Centre

    Non comptée

    Le Centre a retiré cette question du calcul de la note, et le livret ne l'imprime pas : sa page ne porte qu'un avis à la place. Elle ne compte ni pour ni contre vous, quelle que soit la case cochée.

    Méthode

    Pour une question sur ce graphique, la démarche reste la même : partir de $10\,000$ euros en 2010, puis multiplier, année après année, par la barre de l'employée.

    Question non comptée : le Centre l'a retirée de la note, elle n'a donc pas de bonne réponse.

12. Question 12page 24 du livretRéponse (2)
    $0{,}9 \cdot 1{,}1 = 0{,}99$

    De 2012 à 2014, le salaire de Betty est multiplié par sa barre de 2013, $90\,\%$, puis par celle de 2014, $110\,\%$.

    1. (1)Mauvaise réponse$85\,\%$ est la barre de 2012 : elle compare 2012 à 2011, avant la période.
    2. (2)Bonne réponse$99\,\%$ du salaire de 2012 : $1\,\%$ de moins.
    3. (3)Mauvaise réponseUne baisse de $10\,\%$ puis une hausse de $10\,\%$ ne se compensent pas : la hausse porte sur un salaire plus petit.
    4. (4)Mauvaise réponseOn a additionné des barres au lieu de les multiplier.

    (2) a baissé de $1\,\%$. Les pourcentages successifs se multiplient.

13. Question 13page 24 du livretRéponse (3)
    $12{,}5\,\% \cdot x = \frac{x}{8} = p \Rightarrow x = 8p$

    $12{,}5\,\%$, c'est un huitième. Un nombre premier $p$ est entier.

    1. (1)Mauvaise réponse$x = 8p$ est un entier.
    2. (2)Mauvaise réponse$x = 8p$ est divisible par $8$ : il n'est pas premier.
    3. (3)Bonne réponse$x = 8p$ est un multiple de $8$, donc pair.
    4. (4)Mauvaise réponseUn multiple de $8$ n'est jamais impair.

    (3) pair. Un huitième de $x$ entier : $x$ est un multiple de $8$.

14. Question 14page 24 du livretRéponse (2)
    $\pi r^2$

    Le disque entier est grisé.

    $r^2 - \frac{1}{4}\pi r^2$

    Le coin : le carré de côté $r$, formé par les deux tangentes et les deux rayons qui les touchent, moins le quart de disque qu'il contient.

    $\pi r^2 + r^2 - \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{3}{4}\pi r^2 + r^2$

    Le disque, plus le coin.

    1. (1)Mauvaise réponseCela ferait un quart de disque et deux carrés : ce n'est pas la figure.
    2. (2)Bonne réponseLe disque, plus le coin entre le cercle et les tangentes.
    3. (3)Mauvaise réponseOn a compté la moitié du carré au lieu du carré moins un quart de disque.
    4. (4)Mauvaise réponseOn a compté le carré entier, sans retirer le quart de disque déjà grisé dans le disque.

    (2) $\frac{3}{4}\pi r^2 + r^2$. Ne pas compter deux fois le quart de disque.

15. Question 15page 25 du livretRéponse (4)
    $N = 3k, \quad k - 2 = 3m$

    Chaque ami reçoit $k$ pots. Bernard en garde $2$ ; le reste se partage en deux parts pour l'aînée et une pour la cadette : un multiple de $3$.

    1. (1)Mauvaise réponse$k = 7$ : il reste $5$ pots, pas un multiple de $3$.
    2. (2)Mauvaise réponse$32$ n'est pas un multiple de $3$ : le partage entre trois amis échoue.
    3. (3)Mauvaise réponse$k = 9$ : il reste $7$ pots, pas un multiple de $3$.
    4. (4)Bonne réponse$k = 8$ : il reste $6$ pots, $4$ pour l'aînée et $2$ pour la cadette.

    (4) $24$. Deux partages successifs, deux conditions de divisibilité.

16. Question 16page 25 du livretRéponse (1)
    $x = 4y = \frac{3}{2}z + 4$

    On remplace $y$ par son expression en $z$.

    $x - z = \frac{1}{2}z + 4 > 0$

    $z$ est positif.

    $y - z = 1 - \frac{5}{8}z$

    Le signe dépend de $z$.

    1. (1)Bonne réponse$x - z$ est toujours positif.
    2. (2)Mauvaise réponseC'est l'inverse.
    3. (3)Mauvaise réponseFaux pour $z = 8$ : $y = 4$.
    4. (4)Mauvaise réponseFaux pour $z = 1$ : $y = \frac{11}{8}$.

    (1) $x$ est plus grand que $z$.

17. Question 17page 25 du livretRéponse (4)
    $V = a^3, \quad F = 6a^2$

    Pour un cube d'arête $a$.

    $\frac{V}{F} = \frac{a}{6}$

    Tout dépend de l'arête : plus petite que $6$, $F > V$ ; égale à $6$, $F = V$ ; plus grande, $F < V$.

    1. (1)Mauvaise réponseVrai seulement si l'arête dépasse $6$.
    2. (2)Mauvaise réponseVrai seulement si l'arête est plus petite que $6$.
    3. (3)Mauvaise réponseVrai seulement pour une arête de $6$.
    4. (4)Bonne réponseLes trois cas sont possibles : rien n'est imposé.

    (4). Un volume et une aire n'ont pas la même unité : leur comparaison dépend de la taille.

18. Question 18page 25 du livretRéponse (1)
    $a = x b^2$

    On tire $a$ de la donnée.

    $\frac{a^2}{b} = \frac{a \cdot x b^2}{b} = abx$

    On remplace un seul des deux facteurs $a$.

    1. (1)Bonne réponse$a \cdot xb^2 / b = abx$.
    2. (2)Mauvaise réponseUn facteur $x$ de trop.
    3. (3)Mauvaise réponseVrai seulement quand $ab = 1$.
    4. (4)Mauvaise réponseVrai seulement quand $ab = x$.

    (1) $abx$. Remplacer un seul $a$ garde l'expression simple.

19. Question 19page 26 du livretRéponse (4)
    $\text{\textdollar}(x) = x\sqrt{x} = x^{3/2}$

    L'opération élève un nombre à la puissance $\frac{3}{2}$.

    $\text{\textdollar}(\text{\textdollar}(87)) = \left(87^{3/2}\right)^{3/2} = 87^{9/4}$

    Appliquée deux fois, elle multiplie les exposants.

    1. (1)Mauvaise réponse$87^{5/2} = 87 \cdot 87^{3/2}$ : on a multiplié une seconde fois par $87$, au lieu d'appliquer l'opération au résultat.
    2. (2)Mauvaise réponseL'exposant final vaut $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$, pas $2$.
    3. (3)Mauvaise réponseOn a additionné les exposants : $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$.
    4. (4)Bonne réponse$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.

    (4) $87^{9/4}$. Une puissance de puissance multiplie les exposants.

20. Question 20page 26 du livretRéponse (1)
    $\frac{d}{x^2} = \frac{d}{x} - 1$

    Sur la même distance $d$, la fourmi met une heure de moins : elle est plus rapide.

    $x^2 > x,\ x > 0 \Rightarrow x > 1$

    La fourmi va à $x^2$ km/h et la tortue à $x$ km/h : la plus rapide est la fourmi, et $x$ est positif.

    1. (1)Bonne réponseLa vitesse de la fourmi dépasse celle de la tortue.
    2. (2)Mauvaise réponseAlors $x^2 < x$ : la fourmi serait la plus lente.
    3. (3)Mauvaise réponse$x = 1{,}5$ convient aussi, pour une distance de $4{,}5$ km.
    4. (4)Mauvaise réponse$x = 3$ convient aussi, pour une distance de $4{,}5$ km.

    (1) $x > 1$. Celle qui arrive la première va plus vite.

Les trois autres sections

• Réflexion verbale 1analogies (1-4), compréhension et déduction (5-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion verbale 2analogies (1-3), compréhension et déduction (4-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion quantitative 2questions et problèmes (1-7 et 12-20), lecture d'un tableau (8-11)
  dans la plateforme