Psychométrique en français, session d'été 2023 — le corrigé

L'épreuve

1. Rédaction35 min · p. 2
2. Verbal 120 questions · 20 min
3. Verbal 220 questions · 20 min
4. Quantitatif 1corrigé ci-dessous
5. Quantitatif 220 questions · 20 min

Réflexion quantitative, première section : la correction

1. Question 1page 21 du livretRéponse (4)
   $\frac{40\,075}{80} \approx 501$

   On partage la longueur totale en $80$ parts égales. Pour estimer : $40\,000 / 80 = 500$, et il reste un peu plus.

   1. (1)Mauvaise réponse$121 \cdot 80 = 9\,680$ : bien trop court.
   2. (2)Mauvaise réponse$201 \cdot 80 = 16\,080$ : encore loin du compte.
   3. (3)Mauvaise réponse$321 \cdot 80 = 25\,680$ : toujours trop court.
   4. (4)Bonne réponse$501 \cdot 80 = 40\,080$ : la longueur de l'équateur, à peu de chose près.

   (4) $501$ km. Penser $40\,000 / 80 = 500$.

2. Question 2page 21 du livretRéponse (4)
   $5y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{x - 1}{5}$

   On fait passer $5y$ d'un côté et $1$ de l'autre, puis on divise par $5$.

   1. (1)Mauvaise réponse$\frac{1}{5x}$ viendrait d'une autre équation, $5xy = 1$.
   2. (2)Mauvaise réponseOn a oublié le $1$.
   3. (3)Mauvaise réponseLe signe est faux : $5y = x - 1$, pas $x + 1$.
   4. (4)Bonne réponse$5y = x - 1$, puis on divise par $5$.

   (4) $\frac{x - 1}{5}$.

3. Question 3page 21 du livretRéponse (1)
   $AC = BD = a\sqrt{2}$

   Soit $a$ le côté du carré : chaque diagonale vaut $a\sqrt{2}$, d'après Pythagore.

   $\frac{2a\sqrt{2}}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

   Le côté $a$ se simplifie : le rapport est le même pour tous les carrés.

   1. (1)Bonne réponseLes deux diagonales, $2\sqrt{2}\,a$, sur le périmètre, $4a$.
   2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait une diagonale égale au côté ; elle est plus longue.
   3. (3)Mauvaise réponse$\sqrt{3}$ appartient au triangle équilatéral, pas au carré.
   4. (4)Mauvaise réponseIl faudrait une diagonale de $1{,}5a$ ; elle vaut $\sqrt{2}\,a \approx 1{,}41a$.

   (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Question 4page 21 du livretRéponse (1)
   $\text{\textdollar}(x^2) = -\frac{1}{x^2}$

   On applique la définition au nombre $x^2$.

   $\frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \frac{x^2}{x} = x$

   Les deux signes moins s'annulent, et diviser par $\frac{1}{x^2}$, c'est multiplier par $x^2$.

   1. (1)Bonne réponseLes signes s'annulent, et il reste $x^2 / x = x$.
   2. (2)Mauvaise réponseAucun signe ne reste : les deux moins s'annulent.
   3. (3)Mauvaise réponseCe serait $x^2 \cdot x$ ; or le quotient vaut $x^2 / x$.
   4. (4)Mauvaise réponseC'est l'opération appliquée à $x$, pas le quotient demandé.

   (1) $x$.

5. Question 5page 22 du livretRéponse (3)
   $a = \sqrt{400} = 20$

   Le côté du carré.

   $S = \frac{12 + 20}{2} \cdot 20 = 320$

   Les deux bases sont parallèles, donc sur deux côtés opposés : la hauteur vaut $20$. L'aire grandit avec la grande base, qui ne peut pas dépasser le côté, $20$.

   1. (1)Mauvaise réponse$\frac{12 + b}{2} \cdot 20 = 240$ donne $b = 12$ : un rectangle, pas l'aire la plus grande.
   2. (2)Mauvaise réponse$b = 16$ : la grande base peut aller jusqu'à $20$.
   3. (3)Bonne réponse$b = 20$ : toute la longueur du côté.
   4. (4)Mauvaise réponseIl faudrait $b = 24$, plus long que le côté.

   (3) $320$ cm². La grande base prend tout le côté.

6. Question 6page 22 du livretRéponse (1)

   Méthode

   Les chemisiers bleus sont exactement $10$. Parmi les $25$ jupes, $5$ sont brunes : les $20$ autres peuvent être bleues ou non.

   $10 \le \text{bleus} \le 10 + 20 = 30$

   Sur $50$ articles : $\frac{10}{50} = 20\,\%$ au moins, $\frac{30}{50} = 60\,\%$ au plus.

   1. (1)Bonne réponse$10$ à $30$ articles sur $50$.
   2. (2)Mauvaise réponse$80\,\%$, ce serait $40$ articles ; $30$ au plus peuvent l'être.
   3. (3)Mauvaise réponse$30\,\%$ exigerait au moins $5$ jupes de cette couleur ; aucune n'est imposée.
   4. (4)Mauvaise réponseLes deux bornes sont fausses.

   (1) : de $20\,\%$ à $60\,\%$.

7. Question 7page 22 du livretRéponse (4)

   Méthode

   La balle est remise après chaque tirage : les tirages sont indépendants, et chaque couleur sort avec la probabilité $\frac{1}{2}$, à chaque fois.

   $P = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$

   Toute suite précise de six couleurs a donc la même probabilité.

   1. (1)Mauvaise réponseUne suite précise : $\frac{1}{64}$, comme les autres.
   2. (2)Mauvaise réponseUne suite précise : $\frac{1}{64}$ elle aussi.
   3. (3)Mauvaise réponseSix fois la même couleur semble rare, mais cette suite précise n'est pas plus rare qu'une autre.
   4. (4)Bonne réponseToutes les suites précises se valent.

   (4) : avec remise, chaque suite précise a la probabilité $\frac{1}{64}$.

8. Question 8page 22 du livretRéponse (3)
   $x^2 = |x|^2 \Rightarrow |x|\,(|x| - 1) = 0$

   Comme $x^2 = |x|^2$, on met $|x|$ en facteur.

   $|x| = 0 \ \text{ou} \ |x| = 1 \Rightarrow x \in \{-1, 0, 1\}$

   Un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est.

   1. (1)Mauvaise réponseOn a oublié $0$, ou bien $1$ et $-1$.
   2. (2)Mauvaise réponse$x = 0$ convient déjà.
   3. (3)Bonne réponse$-1$, $0$ et $1$ : le bon compte.
   4. (4)Mauvaise réponseL'équation ne vaut que pour ces trois valeurs, pas pour tout un intervalle.

   (3) : $-1$, $0$ et $1$, pas une de plus.

9. Question 9page 23 du livretRéponse (1)
   $\frac{48}{2} = 24$

   La moyenne des deux nombres : c'est aussi leur écart.

   $J + M = 48, \quad J - M = 24 \Rightarrow M = 12$

   On retranche la seconde égalité de la première : $2M = 24$.

   1. (1)Bonne réponse$36 - 12 = 24$, la moyenne.
   2. (2)Mauvaise réponse$34 - 14 = 20$, pas $24$.
   3. (3)Mauvaise réponse$30 - 18 = 12$.
   4. (4)Mauvaise réponse$28 - 20 = 8$.

   (1) $12$.

10. Question 10page 23 du livretRéponse (3)
    $S_{ABC} = \frac{9 \cdot 9}{2} = 40{,}5$

    Isocèle et rectangle en $B$ : $AB = BC = 9$.

    $S_{\text{blanc}} = \frac{3 \cdot 9}{2} = 13{,}5$

    Le triangle blanc a pour base le segment de $3$ cm posé sur $AB$, et pour hauteur $BC$, perpendiculaire à $AB$.

    $40{,}5 - 13{,}5 = 27$

    Les parties grisées sont tout le reste du grand triangle.

    1. (1)Mauvaise réponseIl faudrait un triangle blanc de $22{,}5$ cm².
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait un triangle blanc de $16{,}5$ cm².
    3. (3)Bonne réponseLe grand triangle moins le triangle blanc.
    4. (4)Mauvaise réponseIl faudrait un triangle blanc de $4{,}5$ cm², soit une base de $1$ cm.

    (3) $27$. Le triangle blanc a la même hauteur que le grand.

11. Question 11page 23 du livretRéponse (4)

    Méthode

    Entre $0$ et $1$, le carré d'un nombre est plus petit que lui, et sa racine plus grande. Et plus le nombre est grand, plus sa racine l'est.

    $\sqrt{b} > \sqrt{a} > a > a^2, \quad \sqrt{b} > b > b^2$

    Les deux chaînes partent de $\sqrt{b}$.

    1. (1)Mauvaise réponse$a^2$ est la plus petite des quatre.
    2. (2)Mauvaise réponse$b^2 < b < \sqrt{b}$.
    3. (3)Mauvaise réponse$\sqrt{a} < \sqrt{b}$, puisque $a < b$.
    4. (4)Bonne réponseLa racine du plus grand des deux nombres.

    (4) $\sqrt{b}$. Par exemple $a = \frac{1}{4}$ et $b = \frac{9}{16}$ : $\sqrt{b} = \frac{3}{4}$.

12. Question 12page 23 du livretRéponse (4)

    Méthode

    Notons $\theta$ l'angle aigu que fait $h$ avec $a$. Comme $b \parallel h$, $b$ fait le même angle $\theta$ avec $a$ ; comme $c \parallel e$, $c$ et $e$ font le même angle avec $a$.

    $\theta = 180^\circ - \alpha$

    $\alpha$ est l'angle obtus, voisin de $\theta$ sur la droite $a$.

    $\gamma = \beta + \theta$

    Au point commun de $a$, $b$ et $c$, l'angle de $c$ avec $a$, du même côté que $\gamma$, se compose de $\beta$ et de $\theta$. C'est l'angle correspondant de $\gamma$, puisque $c \parallel e$.

    $\gamma = \beta + 180^\circ - \alpha$

    On remplace $\theta$.

    1. (1)Mauvaise réponseC'est $180^\circ - \gamma$, l'angle aigu que fait $e$ avec $a$ de l'autre côté.
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait $\gamma = 180^\circ - 2\beta$, donc $\theta = 180^\circ - 3\beta$ : rien dans la figure ne lie ainsi $\theta$ et $\beta$.
    3. (3)Mauvaise réponseAvec $\gamma = \beta + 180^\circ - \alpha$, l'égalité $\gamma = \alpha + \beta$ forcerait $\alpha = 90^\circ$ ; or $\alpha$ est obtus.
    4. (4)Bonne réponse$\beta + \theta$, avec $\theta = 180^\circ - \alpha$.

    (4) $180^\circ + \beta - \alpha$. Passer par l'angle aigu $\theta$.

13. Question 13page 24 du livretRéponse (1)
    $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

    En une journée, Raphaël travaille deux fois moins longtemps que sa mère, et chaque heure rend les $\frac{3}{4}$ de la sienne : il fait les $\frac{3}{8}$ de son travail quotidien.

    $6 \div \frac{3}{8} = 16$

    Le travail de six jours de la mère.

    1. (1)Bonne réponse$6 \cdot \frac{8}{3} = 16$.
    2. (2)Mauvaise réponseOn n'a tenu compte que du temps : $6 \cdot 2$.
    3. (3)Mauvaise réponse$6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = 9$ : on a multiplié par $\frac{3}{4}$ au lieu de diviser.
    4. (4)Mauvaise réponseMoins de jours que la mère, alors qu'il travaille moins longtemps et moins vite.

    (1) $16$.

14. Question 14page 24 du livretRéponse (3)
    $K + L + M = 3(k + l + m)$

    Chacun s'écrit $3$ fois un entier : on met $3$ en facteur.

    $3 + 6 + 12 = 21$

    Un contre-exemple suffit à écarter les autres : $21$ n'est divisible ni par $6$, ni par $12$, ni par $15$.

    1. (1)Mauvaise réponse$21$ n'est pas divisible par $12$.
    2. (2)Mauvaise réponse$21$ n'est pas divisible par $15$.
    3. (3)Bonne réponseToujours vrai : $3$ est en facteur.
    4. (4)Mauvaise réponse$21$ est impair : pas divisible par $6$.

    (3) $3$.

15. Question 15page 24 du livretRéponse (4)
    $2\pi \cdot 2 = 4\pi$

    La longueur de la piste.

    $x_N + x_R = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$

    Ils partent du même point en sens contraires. Pour être aux deux bouts d'un diamètre, ils doivent avoir couvert à eux deux une demi-piste.

    $x_N = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4}{3}\pi$

    Noam va deux fois plus vite : il fait deux tiers du chemin.

    1. (1)Mauvaise réponse$\pi$ serait la part de Noam s'ils allaient à la même vitesse.
    2. (2)Mauvaise réponse$2\pi$, c'est la distance des deux ensemble.
    3. (3)Mauvaise réponseRita aurait fait $\frac{\pi}{2}$ : un rapport de $3$, pas de $2$.
    4. (4)Bonne réponseDeux tiers de $2\pi$.

    (4) $\frac{4}{3}\pi$.

16. Question 16page 25 du livretRéponse (3)
    $21\text{ h }00 + 55 \text{ min} = 21\text{ h }55$

    Le dernier départ de la commune $D$, et la durée de son trajet.

    Méthode

    On compare avec le dernier départ de la ville vers chaque autre commune : $23$ h $30$ pour $A$, $22$ h $30$ pour $B$, $22$ h $00$ pour $C$. Tous viennent après $21$ h $55$.

    1. (1)Mauvaise réponseLes trois lignes partent encore après $21$ h $55$.
    2. (2)Mauvaise réponseMême la ligne $C$, dont le dernier bus part le plus tôt, part encore à $22$ h $00$.
    3. (3)Bonne réponseLes trois communes restent possibles.
    4. (4)Mauvaise réponseAucun dernier départ n'a lieu avant $21$ h $55$.

    (3) : les trois communes.

17. Question 17page 26 du livretRéponse (3)
    $A : \tfrac{40}{17} \approx 2{,}35 \quad B : \tfrac{30}{9} \approx 3{,}33 \quad C : \tfrac{35}{10} = 3{,}5 \quad D : \tfrac{55}{22} = 2{,}5$

    La durée du trajet divisée par son prix, ligne par ligne.

    1. (1)Mauvaise réponse$2{,}35$, la plus faible.
    2. (2)Mauvaise réponse$3{,}33$, juste derrière.
    3. (3)Bonne réponse$3{,}5$, la plus élevée.
    4. (4)Mauvaise réponse$2{,}5$.

    (3), la ligne $C$.

18. Question 18page 26 du livretRéponse (2)
    $16\text{ h }30 - 35 \text{ min} = 15\text{ h }55$

    Le trajet dure $35$ minutes : il faut partir au plus tard à $15$ h $55$.

    $7\text{ h }00 + 44 \cdot 12 \text{ min} = 15\text{ h }48$

    Les départs vers $C$ ont lieu à $7$ h $00$ plus un multiple de $12$ minutes. De $7$ h $00$ à $15$ h $55$, il y a $535$ minutes, et $535 = 44 \cdot 12 + 7$.

    1. (1)Mauvaise réponseUn vrai départ, mais pas le dernier : celui de $15$ h $48$ le suit.
    2. (2)Bonne réponseLe dernier départ avant $15$ h $55$.
    3. (3)Mauvaise réponseAucun bus ne part à cette heure : ce n'est pas $7$ h plus un multiple de $12$ minutes.
    4. (4)Mauvaise réponseIl arriverait à $16$ h $40$.

    (2) $15$ h $48$.

19. Question 19page 26 du livretRéponse (1)

    Méthode

    Un trajet dure $30$ minutes : à $18$ h $23$, roulent les bus partis après $17$ h $53$. Dans les deux sens, les départs tombent sur les dizaines de minutes.

    $18\text{ h }00, \ 18\text{ h }10, \ 18\text{ h }20$

    Trois départs dans chaque sens : $3 + 3 = 6$.

    1. (1)Bonne réponseTrois dans chaque sens.
    2. (2)Mauvaise réponseOn a oublié des départs : il y en a trois par sens dans la dernière demi-heure.
    3. (3)Mauvaise réponseOn a compté des bus déjà arrivés, partis avant $17$ h $53$.
    4. (4)Mauvaise réponseOn n'a compté que deux départs par sens.

    (1) $6$.

20. Question 20page 26 du livretRéponse (4)
    $23\text{ h }30 - 5\text{ h }30 = 18 \text{ h} = 1\,080 \text{ min}$

    Du premier au dernier départ de la ville vers $A$.

    $\frac{1\,080}{20} + 1 = 55$

    $54$ intervalles de $20$ minutes, donc $55$ départs : on compte aussi le premier.

    1. (1)Mauvaise réponse$21$ départs ne couvrent que $400$ minutes.
    2. (2)Mauvaise réponseOn a compté un départ sur deux.
    3. (3)Mauvaise réponse$51$ départs ne couvrent que $1\,000$ minutes.
    4. (4)Bonne réponse$54$ intervalles, et le premier départ en plus.

    (4) $55$. Ne pas oublier le premier départ.

Les trois autres sections

• Réflexion verbale 1analogies (1-4), compréhension et déduction (5-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion verbale 2analogies (1-4), compréhension et déduction (5-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion quantitative 2questions et problèmes (1-8 et 13-20), lecture d'un graphique (9-12)
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