Psychométrique en français, session d'été 2022 — le corrigé

L'épreuve

1. Rédaction35 min · p. 2
2. Verbal 120 questions · 20 min
3. Verbal 220 questions · 20 min
4. Quantitatif 1corrigé ci-dessous
5. Quantitatif 220 questions · 20 min

Réflexion quantitative, première section : la correction

1. Question 1page 22 du livretRéponse (3)

   Méthode

   Pour chaque ville, on compare les deux colonnes du tableau.

   $C:\ 600 > 350, \quad E:\ 400 > 100, \quad F:\ 400 > 200$

   Dans $A$, $B$ et $D$, c'est Olivia qui vend le plus.

   1. (1)Mauvaise réponseUne seule ville : il en manque deux.
   2. (2)Mauvaise réponseDeux villes : il en manque une.
   3. (3)Bonne réponse$C$, $E$ et $F$.
   4. (4)Mauvaise réponseDans $A$, $B$ et $D$, Mady vend moins.

   (3) : trois villes, $C$, $E$ et $F$.

2. Question 2page 22 du livretRéponse (3)
   $A(0;0),\ B(5;1),\ C(2;2),\ D(5;3),\ E(2{,}5;4),\ F(6;6)$

   Les villes en carreaux de $10$ km, à partir de $A$.

   Méthode

   Un plus court chemin de $A$ à $F$ ne va jamais vers la gauche ni vers le bas. Il passe par deux villes s'il peut aller de l'une à l'autre en ne faisant que monter et aller à droite.

   1. (1)Mauvaise réponse$B$ est plus à droite que $C$, mais plus bas : on ne peut pas passer par les deux.
   2. (2)Mauvaise réponse$B$ est plus à droite que $E$, mais plus bas.
   3. (3)Bonne réponseDe $C\,(2;2)$ à $D\,(5;3)$ : vers la droite et vers le haut.
   4. (4)Mauvaise réponse$D$ est plus à droite que $E$, mais plus bas.

   (3) : $C$ puis $D$.

3. Question 3page 22 du livretRéponse (1)

   Méthode

   On cherche la ville d'arrivée de chacune au jour 3 et au jour 4, puis on lit le tableau.

   $\text{jour } 3 :\ D \ (700),\ B \ (450) \qquad \text{jour } 4 :\ C \ (350),\ E \ (400)$

   Les chiffres clairs pour Olivia, les foncés pour Mady.

   1. (1)Bonne réponseAu jour 3, Olivia est en $D$ : $700 > 500$.
   2. (2)Mauvaise réponseAu jour 4, elle est en $C$ : $350$.
   3. (3)Mauvaise réponseAu jour 3, Mady est en $B$ : $450$.
   4. (4)Mauvaise réponseAu jour 4, elle est en $E$ : $400$.

   (1) : Olivia, en $D$, au jour 3.

4. Question 4page 22 du livretRéponse (1)
   $\frac{110}{2} = 55 \text{ km}$

   À $2$ shekels le kilomètre.

   $A\to C:\ 40, \quad C\to B:\ 40, \quad B\to E:\ 25 + 30 = 55$

   Un plus court chemin mesure l'écart horizontal plus l'écart vertical.

   1. (1)Bonne réponseDe $B\,(5;1)$ à $E\,(2{,}5;4)$ : $25 + 30 = 55$ km.
   2. (2)Mauvaise réponseElle arrive en $B$ au jour 3 : $30 + 10 = 40$ km, soit $80$ shekels.
   3. (3)Mauvaise réponseElle arrive en $C$ au jour 2 : $20 + 20 = 40$ km.
   4. (4)Mauvaise réponseElle arrive en $D$ au jour 5 : $25 + 10 = 35$ km, soit $70$ shekels.

   (1) : en $E$, au bout de $55$ km.

5. Question 5page 22 du livretRéponse (3)
   $\frac{150 + 600 + 450 + 400}{4} = \frac{1\,600}{4} = 400$

   Jours 1 à 4 : $A$, $C$, $B$, $E$.

   1. (1)Mauvaise réponseCe serait un total de $1\,300$.
   2. (2)Mauvaise réponseCe serait un total de $1\,500$.
   3. (3)Bonne réponseLe bon total, $1\,600$.
   4. (4)Mauvaise réponseCe serait un total de $1\,800$.

   (3) $400$.

6. Question 6page 23 du livretRéponse (4)
   $P = 2(2\ell + \ell) = 6\ell$

   Soit $\ell$ la largeur.

   $P' = 2(10\ell + 2\ell) = 24\ell = 4P$

   Nouvelle longueur $10\ell$, nouvelle largeur $2\ell$.

   1. (1)Mauvaise réponseOn a ajouté les deux facteurs, $5 + 2$.
   2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait un périmètre de $48\ell$.
   3. (3)Mauvaise réponseIl faudrait un périmètre de $18\ell$.
   4. (4)Bonne réponse$24\ell / 6\ell = 4$.

   (4) $4$.

7. Question 7page 23 du livretRéponse (2)
   $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \iff a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1}$

   Chaque nombre est au milieu de ses voisins : l'écart reste constant, ici $2$.

   $1,\ 3,\ 5,\ 7$

   Le quatrième nombre.

   1. (1)Mauvaise réponse$6$ : l'écart ne serait plus constant.
   2. (2)Bonne réponse$5 + 2 = 7$.
   3. (3)Mauvaise réponse$8$ : un écart de $3$.
   4. (4)Mauvaise réponse$9$ : un écart de $4$.

   (2) $7$.

8. Question 8page 23 du livretRéponse (2)
   $\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2 = \frac{15}{4} = 3{,}75$

   On compare les carrés : tous les nombres en jeu sont positifs.

   $\left(\tfrac32\right)^2 = 2{,}25 < 3{,}75 < 4 = 2^2$

   Le nombre est donc entre $\frac32$ et $2$.

   1. (1)Mauvaise réponseLe secteur $A$ va de $1$ à $\frac32$ : carrés de $1$ à $2{,}25$.
   2. (2)Bonne réponseDe $\frac32$ à $2$ : carrés de $2{,}25$ à $4$.
   3. (3)Mauvaise réponseDe $2$ à $\frac52$ : carrés au-dessus de $4$.
   4. (4)Mauvaise réponseDe $\frac52$ à $3$ : bien trop loin.

   (2) : le secteur $B$.

9. Question 9page 23 du livretRéponse (1)
   $4b + 5(15 - b) = 64 \Rightarrow 75 - b = 64 \Rightarrow b = 11$

   Soit $b$ le nombre de stylos bleus.

   1. (1)Bonne réponse$11 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 64$.
   2. (2)Mauvaise réponse$40 + 25 = 65$.
   3. (3)Mauvaise réponse$28 + 40 = 68$.
   4. (4)Mauvaise réponse$24 + 45 = 69$.

   (1) $11$.

10. Question 10page 24 du livretRéponse (3)
    $S_{BEF} = \tfrac14\, S_{BAC} = \tfrac14 \cdot 16 = 4$

    La diagonale $AC$ coupe le losange en deux triangles de $16$ cm². $E$ et $F$ sont les milieux de $BA$ et $BC$ : le triangle $BEF$ réduit $BAC$ de moitié, son aire est quatre fois plus petite.

    $32 - 2 \cdot 4 = 24$

    De même pour le triangle $DHG$, à l'autre bout.

    1. (1)Mauvaise réponseIl faudrait retirer $14$ cm².
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait retirer $12$ cm².
    3. (3)Bonne réponseLe losange moins deux coins de $4$ cm².
    4. (4)Mauvaise réponseOn n'aurait ôté qu'un coin.

    (3) $24$.

11. Question 11page 24 du livretRéponse (3)
    $z = 2x > x \Rightarrow x > 0$

    $2x > x$ n'est vrai que pour $x$ positif.

    $0 < x < y < z$

    $y$ et $z$, plus grands que $x$, le sont aussi ; $w$ peut être négatif, par exemple $w = -1$, $x = 1$, $y = 1{,}5$, $z = 2$.

    1. (1)Mauvaise réponse$x$, $y$ et $z$ le sont tous trois.
    2. (2)Mauvaise réponseIl y en a un de plus.
    3. (3)Bonne réponse$x$, $y$ et $z$.
    4. (4)Mauvaise réponse$x$ l'est forcément.

    (3) : trois, $x$, $y$ et $z$.

12. Question 12page 24 du livretRéponse (1)
    $B = 0{,}8A, \quad C = 1{,}2 \cdot 0{,}8A = 0{,}96A$

    On exprime tout en fonction de $A$.

    1. (1)Bonne réponse$A$ dépasse $C$, qui dépasse $B$.
    2. (2)Mauvaise réponse$C$ ne fait que $96\,\%$ de $A$.
    3. (3)Mauvaise réponse$A$ et $C$ diffèrent : $0{,}96A \ne A$.
    4. (4)Mauvaise réponseLes deux rapports suffisent à classer les trois.

    (1) : $A$ est le plus lourd.

13. Question 13page 24 du livretRéponse (4)
    $\angle DAB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

    $AB \parallel DE$ : les angles $DAB$ et $ADE$ sont supplémentaires.

    $\angle ADC = \angle DAB = 130^\circ$

    Un trapèze inscrit dans un cercle est isocèle : dans $ABCD$, les angles à la base $AD$ sont égaux.

    $\angle EDC = 130^\circ - 50^\circ = 80^\circ$

    On retire l'angle donné.

    1. (1)Mauvaise réponse$50^\circ$ est l'angle donné, $ADE$, pas l'angle cherché.
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait $\angle ADC = 110^\circ$.
    3. (3)Mauvaise réponseIl faudrait $\angle ADC = 120^\circ$.
    4. (4)Bonne réponse$130^\circ - 50^\circ$.

    (4) $80^\circ$.

14. Question 14page 25 du livretRéponse (4)

    Méthode

    La table compte des deux sexes. En faisant le tour de la table, on passe forcément, quelque part, d'un homme à une femme : deux voisins de sexes différents.

    $H\,F\,H\,F\,H\,F$

    L'alternance : aucun voisin du même sexe, et chacun fait face à quelqu'un de l'autre sexe.

    $H\,H\,F\,H\,H\,F$

    Ici, chacun fait face à quelqu'un de son sexe (places $1$-$4$, $2$-$5$, $3$-$6$).

    1. (1)Mauvaise réponseVis-à-vis, de même sexe : l'alternance l'évite.
    2. (2)Mauvaise réponseVis-à-vis, de sexes différents : la seconde disposition l'évite.
    3. (3)Mauvaise réponseVoisins, de même sexe : l'alternance l'évite.
    4. (4)Bonne réponseVoisins, de sexes différents : le tour de table l'impose.

    (4) : deux voisins de sexes différents.

15. Question 15page 25 du livretRéponse (3)
    $3 \cdot 144 + 2 \cdot 12 + 2 = 458$

    Une caisse compte $12 \cdot 12 = 144$ œufs.

    $458 - 100 = 358 = 2 \cdot 144 + 5 \cdot 12 + 10$

    Ce qui reste.

    1. (1)Mauvaise réponse$144 + 72 + 2 = 218$.
    2. (2)Mauvaise réponse$288 + 60 + 6 = 354$.
    3. (3)Bonne réponse$288 + 60 + 10 = 358$.
    4. (4)Mauvaise réponse$288 + 72 + 2 = 362$.

    (3) : il reste $358$ œufs.

16. Question 16page 25 du livretRéponse (4)
    $\text{diviseurs de } 3^k :\ 3^0, 3^1, \dots, 3^k$

    $3$ est premier : chaque diviseur est une puissance de $3$, d'exposant $0$ à $k$.

    1. (1)Mauvaise réponseOn oublie $1 = 3^0$.
    2. (2)Mauvaise réponse$3^k - 1$ compte presque tous les entiers jusqu'à $x$.
    3. (3)Mauvaise réponsePour $k = 1$, $3$ n'a que deux diviseurs, pas trois.
    4. (4)Bonne réponseLes exposants $0$ à $k$ : $k + 1$ diviseurs.

    (4) $k + 1$.

17. Question 17page 25 du livretRéponse (4)
    $20 \cdot \frac{6}{5} = 24$

    Pages lues par Nadia en une heure.

    $24x = 20(x + 3) \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15$

    Le livre a le même nombre de pages pour les deux.

    1. (1)Mauvaise réponse$144 \ne 180$.
    2. (2)Mauvaise réponse$240 \ne 260$.
    3. (3)Mauvaise réponse$288 \ne 300$.
    4. (4)Bonne réponse$360 = 360$.

    (4) $15$.

18. Question 18page 26 du livretRéponse (4)
    $V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 h}{3}, \quad V_{\text{cyl}} = \pi (2r)^2 (2h) = 8\pi r^2 h$

    Le rayon doublé compte au carré, la hauteur doublée une fois.

    $\frac{\pi r^2 h / 3}{8 \pi r^2 h} = \frac{1}{24}$

    Le rapport des deux volumes.

    1. (1)Mauvaise réponseBien trop grand : le cylindre est $24$ fois plus volumineux.
    2. (2)Mauvaise réponseOn a oublié le tiers du cône.
    3. (3)Mauvaise réponseLe rayon doublé n'a pas été élevé au carré.
    4. (4)Bonne réponseLe tiers, puis $8$.

    (4) $1:24$.

19. Question 19page 26 du livretRéponse (4)
    $d^2 = c^2 + c^2 = 2c^2$

    La diagonale en pointillés est l'hypoténuse de deux triangles rectangles : en haut, de côtés $c$ et $c$ ; en bas, de côtés $a$ et $b$.

    $a^2 + b^2 = 2c^2 = 2(2a)^2 = 8a^2 \Rightarrow b^2 = 7a^2$

    On remplace $c$ par $2a$.

    1. (1)Mauvaise réponse$b - a = (\sqrt7 - 1)a \approx 1{,}65a$, pas $2a$.
    2. (2)Mauvaise réponseIl faudrait $b = 3a$ ; or $b = \sqrt7\,a$.
    3. (3)Mauvaise réponseLa somme vaut $2c^2$, pas $c^2$.
    4. (4)Bonne réponse$8a^2 - a^2$.

    (4) $b^2 = 7a^2$.

20. Question 20page 26 du livretRéponse (4)
    $20! = 20 \cdot 19!, \quad 21! = 21 \cdot 20 \cdot 19!$

    On met $19!$ en facteur.

    $19!\,(1 + 20 + 420) = 19! \cdot 441 = 19! \cdot 21^2$

    $441 = 21 \cdot 21$.

    1. (1)Mauvaise réponse$60!$ est immensément plus grand : les factorielles ne s'additionnent pas ainsi.
    2. (2)Mauvaise réponse$3 \cdot 20! = 19! \cdot 60$, loin de $19! \cdot 441$.
    3. (3)Mauvaise réponse$41 = 20 + 21$ : or $21!$ vaut $21 \cdot 20 \cdot 19!$, pas $21 \cdot 19!$.
    4. (4)Bonne réponse$441 = 21^2$.

    (4) $19! \cdot 21^2$.

Les trois autres sections

• Réflexion verbale 1analogies (1-3), compréhension et déduction (4-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion verbale 2analogies (1-4), compréhension et déduction (5-14), texte (15-20)
  dans la plateforme
• Réflexion quantitative 2questions et problèmes (1-9 et 14-20), lecture d'un graphique (10-13)
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